रेषेचा बीजगणितातील समीकरणे प्रणाली आहे. रेषेचा बीजगणितातील समीकरणे एकसंध प्रणाली

शाळेत, आम्हाला प्रत्येक समीकरण अभ्यास केला आणि, नक्कीच, समीकरण प्रणाली. पण अनेक लोक नाही त्यांना सोडविण्यासाठी अनेक मार्ग आहेत हे मला माहीत आहे. आज आम्ही नक्की सर्व पद्धती दिसेल रेषेचा बीजगणितातील समीकरणे, दोन पेक्षा जास्त समीकरणे तयार करत असलेल्या एक प्रणाली सोडवण्यासाठी.

कथा

आज आम्ही समीकरणे आणि त्यांच्या प्रणाली सोडवणे कला प्राचीन बाबेल व इजिप्त मध्ये मूळ हे मला माहीत आहे. तथापि, त्यांच्या परिचित स्वरूपात समता इंग्रजी गणितज्ञ रेकॉर्ड करून 1556 मध्ये सुरू करण्यात आली जे समान चिन्ह "=" घटना आमच्या दिसू लागले. तसे, याचे एक कारण हे चिन्ह निवडले होते: तो दोन समांतर समान विभागांना याचा अर्थ. खरंच, समता उत्तम उदाहरण होणार नाही.

आधुनिक अक्षरे संस्थापक आणि अज्ञात प्रमाणात प्रतीक, फ्रेंच गणितज्ञ Fransua व्हिएतनाम. तथापि, त्याचे नाव आज बरेच वेगळे आहे. उदाहरणार्थ, एक अज्ञात संख्या एक चौरस तो पत्र प्रश्न (. अक्षांश "quadratus"), आणि घन नियुक्त - (. अक्षांश "cubus") पत्र सी. या चिन्हे आता अस्वस्थ वाटते, पण नंतर ते रेषेचा बीजगणितातील समीकरणे एक प्रणाली लिहू सर्वात अंतर्ज्ञानी मार्ग होता.

तथापि, उपाय प्रचलित पद्धती गैरसोय गणितज्ञ फक्त सकारात्मक मुळे मानले आहे होते. कदाचित या नकारात्मक मूल्ये कोणत्याही व्यावहारिक अर्ज नाही खरं आहे. एक मार्ग किंवा दुसर्या, तर नकारात्मक मुळे इटालियन गणित Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano आणि Raphael Bombelli 16 व्या शतकात लागले विचार करणे. एक आधुनिक रूप, सोडवणे मुख्य पद्धत वर्गसमीकरण समीकरणे (discriminant माध्यमातून) देकार्त आणि न्यूटन दाने फक्त 17 व्या शतकात स्थापन करण्यात आली.

18 व्या शतकातील स्विस गणितज्ञ मध्यभागी Gabriel Cramer सोपे रेषेचा समीकरणे युगाच्या उपाय करण्यासाठी एक नवीन मार्ग शोधला. ही पद्धत नंतर त्याला हे नामकरण करण्यात आले, आणि आज आम्ही वापरा. पण थोड्या वेळाने Kramer चर्चा पद्धत वर, पण आता आम्ही प्रणाली स्वतंत्रपणे रेषेचा समीकरणे आणि उपाय चर्चा होईल.

रेषेचा समीकरणे

रेषेचा समीकरणे - चल (s) सोपा समीकरण. ते बीजगणितातील आहेत. रेषेचा समीकरणे खालीलप्रमाणे सामान्य फॉर्म मध्ये लिहिले: ₁ * x ₁ + _{2 *} x ₂ + ... आणि _n * x _n = b. या फॉर्मचे सादरीकरण आम्ही प्रणाली तयार असणे आवश्यक आहे आणि सारणीच्या आहे.

रेषेचा बीजगणितातील समीकरणे एक प्रणाली

या संज्ञा व्याख्या आहे: समीकरणे सामान्य कमाल आणि सामान्य उपाय आहे की एक संच. थोडक्यात, शाळेत सर्व दोन किंवा तीन समीकरणे एक प्रणाली निराकरण. पण चार किंवा अधिक घटक प्रणाली आहेत. पहिले कसे जेणेकरून नंतर ते सोडवायला सोयीस्कर होते त्यांना लिहून ते पाहू. 1,2,3 आणि त्यामुळे वर: प्रथम, सर्व चल याच निर्देशांक नाम म्हणून लिहिले आहेत तर रेषेचा बीजगणितातील समीकरणे प्रणाली चांगले दिसेल. दुसरे म्हणजे, ते अधिकृत फॉर्म सर्व समीकरणे होऊ नये: ₁ * x ₁ + _{2 *} x ₂ + ... आणि _n * x _n = b.

हे सर्व उपाय केल्यानंतर, आम्ही कसे रेषेचा समीकरणे युगाच्या उपाय शोधण्यासाठी आपण सांगू सुरू करू शकता. त्या साठी खूप सुलभ मॅट्रिक्स मध्ये येतील.

मॅट्रिक्स

मॅट्रिक्स - पंक्ती आणि स्तंभ समावेश मेज व त्याचे घटक त्यांच्या छेदनबिंदू आहेत. या एक विशिष्ट मूल्य किंवा चल एकतर असू शकते. बहुतांश घटनांमध्ये, subscripts (उदा ₁₁ किंवा ₂₃ तसेच) खाली आयोजित केले जातात की घटक स्पष्ट करण्यासाठी. स्तंभ - पहिला निर्देशांक पंक्ती संख्या, आणि दुसरा सूचित करते. वरील आणि इतर कोणत्याही गणिती घटक म्हणून वरील सारणीच्या विविध क्रिया करू शकता. त्यामुळे, आपण हे करू शकता:

1) कमी करणे आणि टेबल समान आकार जोडा.

2) कोणत्याही संख्या किंवा व्हेक्टर करण्यासाठी मॅट्रिक्स गुणाकार.

3) जागांची अदलाबदल: स्तंभ मॅट्रिक्स ओळी परिवर्तन, आणि स्तंभ - ओळ.

4), मॅट्रिक्स गुणाकार पंक्तींची संख्या स्तंभ एक भिन्न नंबर त्यांना एक समान आहे तर.

ते भविष्यात आम्हाला उपयुक्त आहेत म्हणून, तपशील चर्चा करण्यासाठी या तंत्र सर्व. वजाबाकी आणि सारण्यांचा व्यतिरिक्त अगदी सोपे आहे. आम्ही समान आकार मॅट्रिक्स घेऊन असल्याने, एक टेबल प्रत्येक घटक प्रत्येक इतर घटक संबंधित आहे. त्यामुळे आम्ही (वजा) या घटकांची दोन (ते त्यांच्या सारणीच्या त्याच जमिनीवर उभे होते महत्वाचे आहे) जोडा. मॅट्रिक्स किंवा वेक्टर संख्या गुणाकार, तेव्हा आपण फक्त त्या संख्या (किंवा व्हेक्टर) द्वारे मॅट्रिक्स प्रत्येक घटक गुणाकार. पक्षांतर - एक अतिशय मनोरंजक प्रक्रिया. त्याला वास्तविक जीवनात एक टॅबलेट किंवा फोनवर आवड बदलत असताना, उदाहरणार्थ, पाहण्यासाठी खूप मनोरंजक कधी कधी. डेस्कटॉप चिन्ह मॅट्रिक्स आहे, आणि स्थान बदल, तो परिवर्तन आहे आणि विस्तीर्ण होते, पण उंची कमी.

आम्हाला जसे अधिक प्रक्रिया परीक्षण करू सारणी गुणाकार. आम्हाला सांगितले असले तरी, आणि उपयुक्त नाही, पण तरीही उपयुक्त आहे जाणीव असू द्या. मल्टिप्लाय दोन मातृकांचा फक्त अट अंतर्गत असू शकते एक टेबल स्तंभांची संख्या इतर पंक्तींची संख्या समान आहे. आता एक मॅट्रिक्स ओळ घटक आणि संबंधित स्तंभ इतर घटक घ्या. एकमेकांना आणि नंतर रक्कम त्यांना गुणाकार (: एक * ब _{11 12} + ₁₂ * ब आणि ₂₂ म्हणजे, उदाहरणार्थ, घटक ₁₁ व ₁₂ आणि ₁₂ ब आणि ₂₂ ब उत्पादन समान _{असेल).} त्यामुळे, एकच टेबल आयटम, आणि तो सारखे एक पद्धत अधिक भरले आहे.

आता आम्ही रेषेचा समीकरण प्रणाली निराकरण कसे विचार सुरू करू शकता.

गॉस

ही थीम शाळेत घडणे सुरुवात केली. आम्ही खूप चांगले "दोन रेषेचा समीकरण प्रणाली" ही संकल्पना माहीत आहे आणि त्यांना निराकरण कसे माहित. पण समीकरणे संख्या काय दोन जास्त असेल तर? हे आम्हाला मदत करेल गॉस पद्धत.

अर्थात, ही पद्धत वापरण्यासाठी आपण प्रणाली मॅट्रिक्स तर सोयीस्कर आहे. पण आपण तो रूपांतरित आणि त्याच्या स्वत: च्या निर्णय करू शकत नाही.

त्यामुळे, कसे रेषेचा समीकरणे गॉस एक प्रणाली द्वारे ते सोडवायला? तसे, अगदी ही पद्धत तरी त्याला नंतर नावाच्या, प्राचीन काळी मध्ये शोधले. गॉस अखेरीस लष्कर फॉर्म संपूर्णता होऊ, समीकरणे चालते ऑपरेशन आहे. की आपण एक अज्ञात waned गेल्या समीकरण शीर्ष-खाली (योग्य ठेवा तर) प्रथम पासून करणे आवश्यक आहे, आहे. - तीन कमाल, दुसरा - दोन तिसऱ्या - प्रथम: दुसऱ्या शब्दांत, आपण जरुरी आहे याची खात्री करण्यासाठी, तीन समीकरणे गरज सांगतो. मग, गेल्या समीकरण पासून, आम्ही प्रथम अज्ञात शोधण्यासाठी, दुसरा किंवा प्रथम समीकरण मध्ये त्याचे मूल्य पर्याय, आणि पुढील उर्वरित दोन चल शोधू.

Cramer च्या नियम

हे तंत्र विकास, व्यतिरिक्त कौशल्य मास्टर सारण्यांचा वजाबाकी, तसेच determinants शोधण्यासाठी सक्षम असणे आवश्यक आहे हे महत्त्वाचे आहे. त्यामुळे, आपण हे सर्व करत अस्वस्थ आहेत किंवा कसे माहीत नाही तर, तो आवश्यक जाणून घेण्यासाठी आणि प्रशिक्षित केले आहे.

ही पद्धत सार काय आहे आणि ते कसे करावे, रेषेचा समीकरणे Cramer एक प्रणाली मिळविण्यासाठी? हे अगदी सोपे आहे. आम्ही (जवळजवळ नेहमीच) रेषेचा बीजगणितातील समीकरणे एक प्रणाली गुणक संख्या एक मॅट्रिक्स तयार करणे आवश्यक आहे. हे करण्यासाठी, फक्त अज्ञात संख्या घेऊन, आणि आम्ही ऑर्डर ते प्रणाली रेकॉर्ड की एक टेबल व्यवस्था. तर संख्या लक्षण आहे आधी "-", नंतर आम्ही नकारात्मक गुणांक लिहा. म्हणून, आम्ही कमाल गुणक पहिल्या मॅट्रिक्स समान चिन्ह संख्या समावेश नाही (अर्थातच, योग्य फक्त एक संख्या आणि डाव्या आहे तेव्हा समीकरण अधिकृत फॉर्म कमी करणे आहे - गुणक सर्व कमाल) केले. प्रत्येक चल एक - मग आपण काही सारणीच्या करणे आवश्यक आहे. या कारणासाठी, समान चिन्ह पहिल्या मॅट्रिक्स मध्ये एक स्तंभ प्रत्येक संख्या सहगुणक स्तंभ बदलले आहे. त्यामुळे आम्ही काही सारणीच्या मिळवा आणि नंतर त्यांच्या determinants शोधू.

आम्ही पात्रता आढळले केल्यानंतर, तो लहान आहे. आम्ही एक प्रारंभिक मॅट्रिक्स आहे, आणि विविध चलने अनुरूप कोणत्या अनेक साधित केलेली सारणीच्या आहेत. एक प्रणाली समाधान मिळेल, आम्ही टेबल प्राथमिक निर्णायक वर परिणामी टेबल निर्णायक विभागून घ्या. परिणामी नंबर एक variable ची व्हॅल्यू आहे. त्याचप्रमाणे, आम्ही सर्व कमाल शोधू.

इतर पद्धती

रेषेचा समीकरणे युगाच्या समाधान प्राप्त करण्यासाठी अनेक पद्धती आहेत. उदाहरणार्थ, जे वर्गसमीकरण समीकरण प्रणाली उपाय शोधण्यासाठी वापरला जातो आणि एक तथाकथित गॉस-जॉर्डन पद्धत, सारण्यांचा वापर संबंधित. रेषेचा बीजगणितातील समीकरणे एक प्रणाली सोडवणे एक Jacobi पद्धत आहे. सहज सर्व संगणक स्वीकारते आणि संगणकीय वापरले जाते.

क्लिष्ट प्रकरणे

समीकरणे संख्या चल संख्या कमी असेल तर जटिलता सहसा येते. मग आम्ही नक्कीच म्हणू शकतो की, किंवा प्रणाली विसंगत आहे (म्हणजेच, नाही मुळे आहे), किंवा त्याच्या निर्णय संख्या अनंत लागतं. आम्ही दुसऱ्या प्रकरणात असल्यास - ते रेषेचा समीकरण प्रणाली सामान्य उपाय लिहू करणे आवश्यक आहे. तो किमान एक चल समावेश असेल.

निष्कर्ष

येथे आम्ही शेवटी येतात. थोडक्यात: आम्ही प्रणाली मॅट्रिक्स रेषेचा समीकरणे एक प्रणाली सामान्य उपाय शोधण्यासाठी काय शिकलो हे समजून घ्यावे लागेल. याव्यतिरिक्त आम्ही इतर पर्याय मानले. गॉसियन लोप आणि आम्ही रेषेचा समीकरण प्रणाली निराकरण कसे बाहेर चित्राच्या Cramer च्या नियम. आम्ही कठीण परिस्थितीत आणि उपाय शोधण्याचे इतर मार्ग बद्दल बोललो.

खरं तर, या समस्या जास्त व्यापक आहे, आणि आपण अधिक चांगले समजून इच्छित असल्यास, आम्ही तुम्हाला विशेष साहित्य अधिक वाचा सल्ला देतो.