Maclaurin आणि काही कार्ये कुजणे

प्रगत गणित अभ्यास आम्हाला अनेक एककेंद्राभिमुखता मध्यांतर मध्ये पॉवर मालिका बेरीज, अनेक वेळा एक सतत आणि अमर्यादित संख्या एक विशिष्ट कार्य आहे याची जाणीव असणे आवश्यक आहे. प्रश्न अ: दिले एक अनियंत्रित कार्य फ भांडणे शक्य आहे (नाम) - एक शक्ती मालिका बेरीज आहे? त्या अटी काय फ-द f (x) एक शक्ती मालिका प्रतिनिधित्व केले जाऊ शकते अंतर्गत आहे? या समस्येचे महत्त्व ती बदलु अंदाजे £ ब्रह्मज्ञानविषयक f (x) एक शक्ती मालिका पहिल्या काही अटी बेरीज आहे शक्य आहे, की एक polynomial आहे. polynomial - - अशा एक बदलण्याची शक्यता कार्य खूप सोपे अभिव्यक्ती आहे सोयीस्कर आणि काही समस्या सोडवणे आहे , गणिती विश्लेषण म्हणजे गणना करताना integrals सोडवणे भेद समीकरण इ, ...

हे सिद्ध झाले आहे की काही फ-ii f (x), (n + 1) -th ऑर्डर डेरिव्हेटिव्ह गणना केली जाऊ शकते ज्यात, परिसरातील नवीन समावेश (α साठी - आर; नाम ₀ + R) एक बिंदू x = α सुंदर सूत्र आहे:

हे सूत्र प्रसिद्ध शास्त्रज्ञ ब्रूक टेलर नंतर नावाचा आहे. मागील एक साधित केलेली आहे जे एक संख्या, एक Maclaurin मालिका म्हणतात:

एक Maclaurin मालिकेत विस्तार निर्मिती ते शक्य करते की एक नियम:

1. प्रथम, द्वितीय, तृतीय, ... ऑर्डर डेरिव्हेटिव्ह ठरवा.
2. येथे x = 0 डेरिव्हेटिव्ह आहेत काय गणना.
3. हे कार्य आणि नंतर एककेंद्राभिमुखता मध्यांतर निर्धारित करण्यासाठी रेकॉर्ड Maclaurin मालिका.
4. (R तुम्ही -R), सूत्र Maclaurin जेथे अवशिष्ट भाग मध्यांतर ठरवा

आर _एन (x) -> 0 n या -> गणित. एक विद्यमान असेल तर ती कार्य f (x) Maclaurin मालिका बेरीज समान असणे आवश्यक आहे.

आता वैयक्तिक कार्ये Maclaurin मालिका विचार करा.

1. त्यामुळे प्रथम फ करणे (x) = ई ^नाम. अर्थात, त्यांची वैशिष्ट्ये म्हणून फ-IA आदेश विविध आणि फ ^{(के) (x)} = ई ^नाम, के सर्व समान आहे जेथे साधित केलेली आहे नैसर्गिक संख्या. पर्याय x = 0. आम्ही फ ^{(के) (0)} = ई ⁰ = 1, के = 1,2 प्राप्त ... मागील ई ^नाम अनेक आधारित खालील प्रमाणे होईल:

2. कार्य f (x) = पाप x साठी Maclaurin मालिका. लगेच लागेल, याशिवाय स्त्री ^'(x) = cos x = पाप (x + n / 2) ^{फ' '(x)} = -sin x = पाप (x सर्व अज्ञात डेरिव्हेटिव्ह त्या फ-द निर्देशीत + 2 * n / ²⁾ ..., फ ^{(के) (x)} = पाप (x + n * के / 2), के कोणत्याही धन पूर्णांक समान असते. की, सोपे आहे गणिते करत, आम्ही फ मालिका (x) = पाप नाम हे सारखे असेल असा निष्कर्ष काढू शकतो:

3. आता iju फ-फ = cos X (X) विचार करू या. हे अनियंत्रित ऑर्डर सर्व डेरिव्हेटिव्ह साठी अज्ञात आहे, आणि ^{| फ (के) (x)} | = | कोस (x + k * n / 2) | <= 1, के = 1,2 ... पुन्हा एकदा, तो, आम्ही फ मालिका (x) cos x = हे दिसत नाही असे आढळले की काही गणिते केले:

म्हणून, आम्ही एक Maclaurin मालिकेत विस्तारीत केला जाऊ शकतो की सर्वात महत्त्वाची वैशिष्ट्ये सूचीबद्ध आहेत, पण ते काही कार्ये टेलर श्रेणी पूरक आहेत. आता आम्ही तसेच त्यांना यादी करेल. हे देखील टेलर श्रेणी आणि Maclaurin मालिका उच्च गणित निर्णय कार्यशाळा मालिका एक महत्त्वाचा भाग आहे की नोंद करावी. त्यामुळे, टेलर मालिका.

1. प्रथम फ-ii f (x) = इन (1 + x) एक मालिका आहे. आम्ही फ (क्ष) = इन (1 + x) Maclaurin मालिका सामान्य फॉर्म वापरून अनेक दुमडलेला जाऊ शकते, मागील उदाहरणे, म्हणून. पण हे वैशिष्ट्य Maclaurin खूपच सोपे मिळू शकते. भौमितिक मालिका एकत्रित, आम्ही फ (क्ष) एक क्रमांक प्राप्त = इन (1 + x) नमुना:

2 या लेखातील अंतिम असेल, दुसरा, f (x) = arctg नाम मालिका होईल. मध्यांतर राहण्याचे x साठी [-1; 1] वैध नाश आहे:

त्या सर्व आहे. हा लेख मी विशेषतः आर्थिक आणि तांत्रिक महाविद्यालये, उच्च गणित सर्वात वापरले टेलर श्रेणी आणि Maclaurin मालिका सर्वेक्षण केले आहे.