रेषीय आणि एकसंध प्रथम-क्रम विभेदक समीकरणे. नमुना समाधान

मला असे वाटते की आपण अशा गणिताच्या इतके गौरवशाली साधनांच्या इतिहासापासून सुरुवात केली पाहिजे की अंतर समीकरण सर्व विभेद आणि अभिन्न गणकाप्रमाणेच, 17 व्या शतकाच्या शेवटी न्यूटनने या समीकरणाचा शोध लावला होता. त्यांनी हाच शोध इतका महत्त्वपूर्ण मानला की त्याने संदेशाचा एन्क्रिप्ट केला, ज्याचा आज असा अनुवाद केला जाऊ शकतो: "निसर्गाचे सर्व नियम विभेदक समीकरणाद्वारे वर्णन केले आहेत." हे अतिशयोक्ती वाटू शकते, परंतु हे खरे आहे. या समीकरणाद्वारे भौतिकशास्त्र, रसायनशास्त्र, जीवशास्त्र यातील कोणत्याही गोष्टीचे वर्णन केले जाऊ शकते.

गणितज्ञ य्युलर आणि लॅग्रेज यांनी विभेदक समीकरणाच्या सिद्धांताच्या विकासासाठी आणि निर्माण करण्यामध्ये प्रचंड योगदान केले. आधीपासूनच 18 व्या शतकात, त्यांनी वरिष्ठ विद्यापीठ अभ्यासक्रमांवर अभ्यास केला जात आहे हे शोधले आणि विकसित केले.

हेन्री पोइंकेअर यांच्या सह विभेदक समीकरणेच्या अभ्यासात एक नवीन मैलाचा दगड सुरु झाला. त्यांनी "विभेद समीकरणाचा गुणात्मक सिद्धांत" तयार केला, जी एक जटिल परिवर्तनाच्या कार्याच्या सिद्धांताशी संबंधित टोपोलॉजी - अंतराळाचे विज्ञान आणि त्याचे गुणधर्म यांचे महत्त्वपूर्ण योगदान केले.

अंतर समीकरण काय आहेत?

बर्याच लोकांना एक वाक्यांश "भिन्नता समीकरण" घाबरत आहे . तथापि, या लेखातील, आम्ही या अतिशय उपयुक्त गणिती साधनांचा संपूर्ण सार तपशील, जे खरं म्हणून शीर्षक म्हणून दिसते म्हणून जटिल नाही आहे. प्रथम ऑर्डरमधील अंतर समीकरणे सांगण्यास प्रारंभ करण्यासाठी, आपण प्रथम या परिभाषासह अंतर्निहित असलेल्या मूळ संकल्पनांबद्दल परिचित व्हायला हवे. आणि आपण या विभेदपासून सुरुवात करू.

भिन्नता

बर्याच लोकांना शाळेतील ही संकल्पना माहीत आहे. तथापि, आम्ही अधिक तपशीलवार त्यावर लक्ष ठेवू. एक फंक्शन आलेख मोजा. आपण ती इतकी वाढवू शकतो की त्याच्या कोणत्याही विभागाने सरळ रेषेचे स्वरूप घेतले असेल. यावर आपण दोन गोष्टींचा विचार करतो जे एकमेकांच्या अगदी जवळ आहेत. त्यांच्या समन्वयात फरक (एक्स किंवा वाय) एक अनमोल आहे याला भिन्न म्हणतात आणि चिन्हे dy (y चा विभेद) आणि dx (x चे विभेद) द्वारे दर्शविले जाते. हे समजून घेणे फार महत्वाचे आहे की अंतर एक मर्यादित प्रमाणात नाही आणि याचा अर्थ आणि मूलभूत कार्य आहे.

आणि आता आपल्याला पुढील घटकाचा विचार करणे आवश्यक आहे, जे आपल्याला एका विभेदक समीकरणाची संकल्पना समजावून सांगण्यासाठी आवश्यक आहे. हे डेरिवेटिव्ह आहे.

व्युत्पन्न

आम्ही सर्व शाळेत आणि ही संकल्पना ऐकली. असे म्हटले जाते की व्युत्पन्न कार्याचा विकास दर किंवा कमी आहे. तथापि, यातील बहुतांश व्याख्या अनाकलनीय बनते. चला भेदांद्वारे डेरिव्हेटिव्हची व्याख्या करण्याचा प्रयत्न करूया. दोन बिंदूंसह एक अननुभवी फंक्शनवर परत जाऊ या, जे एकमेकांपासून कमीतकमी अंतराने आहेत. पण या अंतरासाठी देखील फंक्शनला काही प्रमाणात बदलण्याची वेळ आहे. आणि या बदलाचे वर्णन करण्यासाठी आणि डेरिव्हेटिव्हसह तयार करा जे अन्यथा भिन्नतांचे गुणोत्तर म्हणून लिहता येईल: f (x) '= df / dx

आता आपण डेरिव्हेटिव्हच्या मूळ गुणधर्मांवर विचार करणे आवश्यक आहे. त्यापैकी फक्त तीन आहेत:

1. बेरजेचा किंवा फरकाचा डेरिवेटिव्ह डेरिव्हेटिव्ह्जचा बेरीज किंवा फरक म्हणून दर्शविला जाऊ शकतो: (a + b) '= a' + b 'आणि (ab)' = a'-b '
2. दुसरी मालमत्ता गुणन संबंधित आहे. उत्पाद डेरिव्हेटिव्ह हे एका साधनाच्या उत्पादनांची बेरीज असते ज्याचे इतरांच्या व्युत्पन्न वर: (a * b) '= a' * b + a * b '
3. फरक व्युत्पन्न खालील समीकरण स्वरूपात लिहीता येईल: (a / b) '= (a' * ba * b ') / b ²

हे सर्व गुणधर्म पहिले ऑर्डर फरक समीकरणे सोडविण्यासाठी उपयुक्त आहेत.

आंशिक डेरिव्हेटिव्ह आहेत. समजा की आपल्याकडे फंक्शन z आहे जे x आणि y व्हेरिएबल्सवर अवलंबून आहे. या फंक्शनलच्या आंशिक डेरिव्हेटिव्हची गणना करण्यासाठी, म्हणा, x शी संबंधित, आपल्याला व्हेरिएबल y ला निरंतर आणि फक्त फरक म्हणून घेणे आवश्यक आहे.

एकात्मिक

आणखी एक महत्वपूर्ण संकल्पना अविभाज्य आहे. खरेतर, हे डेरिव्हेटिव्हच्या थेट विरुद्ध आहे. समता अनेक प्रकारचे असतात, परंतु सर्वात सोप्या विभेदक समीकरणे सोडविण्यासाठी आपल्याला सर्वात क्षुल्लक अनिश्चित असण्याची गरज आहे .

तर, अभिन्न काय आहे? समजा की आपल्याकडे x वर निश्चितपणे F चा अवलंबन आहे. आम्ही त्यास अविभाज्य घेतो आणि कार्यरत असलेल्या एफ (एक्स) (अनेकदा antiderivative म्हणतात) प्राप्त करतो, ज्याचे मूळ मूळ कार्यासाठी आहे. अशाप्रकारे, एफ (x) '= f (x). हे देखील असे मानते की डेरिव्हेटिव्हचा अविभाज्य मूळ कार्य समतुल्य आहे.

विभेदक समीकरणे सोडवताना, अभिन्न अर्थ व कार्य समजणे अत्यंत महत्वाचे आहे, कारण समाधान शोधण्यासाठी त्यांना घेणे बहुतेक वेळा आवश्यक असते.

त्यांच्या स्वभावावर अवलंबून समीकरण भिन्न आहेत. पुढील विभागात, आम्ही प्रथम-क्रम विभेदक समीकरणाचे प्रकार पाहणार आहोत, आणि नंतर त्यांना कसे सोडवायचे ते जाणून घ्या.

अंतर समीकरणांचे वर्ग

"डिफ्यूझर्स" त्यांच्यात सहभागी झालेल्या डेरिव्हेटिव्ह्जच्या ऑर्डरप्रमाणे विभाजित आहेत. अशाप्रकारे पहिला, दुसरा, तिसरा किंवा अधिक ऑर्डर आहे. त्यांना अनेक वर्गांमध्ये विभागले जाऊ शकते: सामान्य आणि आंशिक डेरिव्हेटिव्हज्

या पेपरमध्ये आपण प्रथम-ऑर्डर साधारण डिफालरी समीकरणांवर विचार करतो. उदाहरणे आणि त्यांचे निराकरण करण्यासाठी पद्धती देखील खालील विभागांमध्ये चर्चा केली जाईल. आपण फक्त ODE मानणार आहोत कारण हे समीकरणांचे सर्वात सामान्य प्रकार आहेत. सामान्य उप-जातींमध्ये विभागले गेले आहेत: एकसंध आणि एक विषम विभेद असलेले व्हेरिएबल्स. त्यानंतर, आपण शिकू शकाल की ते एकमेकांपेक्षा वेगळे कसे आहेत आणि त्यांना कसे सोडवायचे ते शिकू शकता.

याव्यतिरिक्त, या समीकरणे एकत्रित केली जाऊ शकतात जेणेकरून आमच्याकडे प्रथम-क्रम विभेदक समीकरणांची एक प्रणाली असेल. आम्ही अशा पद्धतींचा विचार करू आणि त्यांना कसे सोडवायचे ते शिकू.

आम्ही केवळ प्रथमच विचार का करतो? कारण आपल्याला एका सोप्यासह सुरुवात करणे आवश्यक आहे आणि एका लेखातील विभेदक समीकरणे संबंधित सर्व गोष्टींचे वर्णन करणे अगदी अशक्य आहे.

विभक्त चर सह समीकरण

हे, बहुधा सोपा प्रथम-क्रम विभेदकारी समीकरण आहेत. यामध्ये खालील उदाहरणे समाविष्ट आहेत: y '= f (x) * f (y). या समीकरणास निराकरण करण्यासाठी आपण डेरिव्हेटिव्हला मतदानाचे गुणोत्तर म्हणून प्रतिनिधित्व करण्यासाठी सूत्र आवश्यक आहे: y '= dy / dx त्याच्या मदतीने आपण खालील समीकरण मिळविले आहे: dy / dx = f (x) * f (y). आता आपण मानक उदाहरणे सोडविण्याच्या पद्धतीकडे वळू शकतो: आपण व्हेरिएबल्सचे वेगवेगळे भाग विभाजित करतो, म्हणजेच आपण व्हेरिएबल y वरून जिथे dy स्थीत आहे त्या प्रत्येक गोष्टीचे स्थानांतरण करतो आणि आपण हे व्हेरिएबल x बरोबर देखील करतो. आम्ही dy / f (y) = f (x) dx असे समीकरण मिळवितो जे दोन्ही बाजूनं एकसमान निष्क्रीय करून सोडले आहे. सतत बद्दल विसरू नका, अभिन्न घेतल्यानंतर सेट करणे आवश्यक आहे.

"डिफ्यूझर" चे समाधान म्हणजे x वर y च्या (आमच्या बाबतीत) अवलंबून असते किंवा, जर तिथे एक संख्यात्मक स्थिती असेल तर उत्तर एका संख्येच्या स्वरूपात असते. चला, सल्ल्याचे संपूर्ण उदाहरण, एका ठोस उदाहरणाचे विश्लेषण करूया:

वाई '= 2y * पाप (एक्स)

आम्ही व्हेरिएबल्स वेगवेगळ्या दिशानिर्देशांमध्ये हस्तांतरित करतो:

उप / युवराज = 2 * पाप (x) dx

आता आम्ही एकांतात घेतो हे सर्वजण एका विशेष सारणीतील विशेष टेबलमध्ये आढळू शकतात. आणि आम्हाला मिळते:

एल एन (वाय) = 2 * cos (x) + C

आवश्यक असल्यास, आम्ही "igruk" "X" चे कार्य म्हणून व्यक्त करू शकतो. आता आपण असे म्हणू शकतो की जर कंडीशन निर्दिष्ट नाही तर आपल्या डिफरल समिकाराचे निराकरण केले आहे. एक अट दिली जाऊ शकते, उदाहरणार्थ, y (n / 2) = e. मग आपण केवळ या व्हेरिएबल्सची व्हॅल्यू द्रावणामध्ये बदलली आणि सततचे मूल्य शोधू. आमच्या उदाहरणामध्ये, हे 1 आहे

एकसंध प्रथम-क्रम विभेदक समीकरणे

आता अधिक जटिल भागावर जा. एकसंध प्रथम-क्रम अंतर समीकरणे सामान्य स्वरूपात सामान्यतः लिहीली जाऊ शकतात: y '= z (x, y). हे नोंद घ्यावे की दोन व्हेरिएबल्सचे योग्य कार्य एकसमान आहे, आणि ते दोन अवलंबनांमध्ये विभागले जाऊ शकत नाही: x मधील z आणि z मधील z. समीकरण एकसंध किंवा नाही हे तपासण्यासाठी, हे अगदी सोपे आहे: आपण x = k * x आणि y = k * y हे पर्याय तयार करतो. आता आपण सर्व क कापू. जर हे सर्व अक्षरे कमी असतील तर समीकरण एकसमान आहे आणि आपण सुरक्षिततेने त्याच्या निराकरणावर जाऊ शकता. पुढे चालत आहे, असे म्हणूया: या उदाहरणे सोडवण्याचा सिद्धांत देखील अतिशय सोपी आहे.

आपल्याला एक पर्याय तयार करण्याची आवश्यकता आहे: y = t (x) * x, जेथे टी एक फंक्शन आहे जो x वर अवलंबून आहे. मग आपण व्युत्पत्ती व्यक्त करू शकतो: y '= t' (x) * x + t हे सर्व आपल्या मूळ समीकरणांमध्ये सोपवून ते सरलीकृत करते, आम्हाला वेगळे व्हेरिएबल्स टी आणि x असे एक उदाहरण मिळते. आम्ही तो सोडवतो आणि अवलंबित्व टी (x) मिळवला. जेव्हा आपल्याला ते मिळाले, तेव्हा आधीच्या प्रतिस्थापनामध्ये y = t (x) * x हा पर्याय निवडा. मग आपल्याला x वर y ची अवलंबित्व मिळते.

हे स्पष्ट करण्यासाठी, चला एक उदाहरण घेऊ: x * y '= yx * e ^{y / x}

प्रतिस्थापन सह तपासा सर्व कमी आहे. म्हणून, समीकरण खरोखर एकसंध आहे. आता आपण दुसरा पर्याय तयार करतो, ज्याबद्दल आम्ही बोललो: y = t (x) * x आणि y '= t' (x) * x + t (x). सरलीकरण केल्यानंतर, आपण खालील समीकरण मिळवले: टी '(x) * x = -e ^t . आम्ही विभक्त केलेल्या व्हेरिएबल्सच्या परिणामी उदाहरणाचे निराकरण करतो आणि प्राप्त करा: e ^-t = ln (C * x). ई = y ^{/ x} = ln (x * C): आपण y / x द्वारे टी ला बदलण्यासाठी केवळ टिकतो (कारण जर y = t * x, तर t = y / x) आणि आपल्याला उत्तर मिळते.

रेखीय प्रथम-क्रम विभेद समीकरणे

आता आणखी एक व्यापक विषय विचारात घेण्याची वेळ आली आहे. आम्ही प्रथम ऑर्डर असहनीय विभेद समीकरणांचे विश्लेषण करू. ते मागील दोन वेगळे कसे आहेत? चला आकृती पाहू. प्रथम ऑर्डरची रेखीय भिन्नता समीकरणे खालील समीकरणाने सामान्य स्वरूपात लिहीली जाऊ शकतात: y '+ g (x) * y = z (x). हे स्पष्ट करण्यासाठी फायदेशीर आहे की z (x) आणि g (x) हे सतत प्रमाण असू शकते.

आणि आता एक उदाहरण: y '- y * x = x ²

निराकरण करण्याचे दोन मार्ग आहेत, आणि आम्ही दोन्ही सुव्यवस्था करणार आहोत. सर्वप्रथम अनियंत्रित स्थिरांमधील फरक करण्याची पद्धत आहे.

अशा प्रकारे समीकरण सोडवण्यासाठी प्रथम शस्त्रक्रीताची समीकरणे आणि परिणामी समीकरण सोडवणे आवश्यक आहे, ज्यामुळे भागांचे हस्तांतरण झाल्यानंतर फॉर्म येतो:

वा Y '= y * x;

उप / डीएक्स = वाय * x;

उप / य = xdx;

Ln | y | = x 2/2 + C;

Y = ई ^{x2 / 2} * ^C = ^C1 * e ^{x2 / 2}

आता आपल्याला फंक्शन v (x) द्वारे सतत C ₁ ला बदलावे लागेल, ज्याला आपल्याला शोधायचे आहे.

^{वायफाय} V = e ^{x2 / 2}

आम्ही डेरिव्हेटिव्ह पुनर्स्थित:

वाई '= वी' * ई ^{x2 / 2-} x * v * e ^{x2 / 2}

आणि या समीकरणांना मूळ समीकरणात बदलवा:

वी '* ई ^{x2 / 2} - x * v * ^e2/2 +2 * x * v * ई ^{x2 / 2} = x ²

हे पाहिले जाऊ शकते की डाव्या बाजूला दोन अटी रद्द करा. काही उदाहरणामध्ये असे झाले नाही तर आपण काहीतरी चुकीचे केले आहे. चला सुरू राहू:

वी '* ई ^{x2 / 2} = x2.

आता आपण सामान्य समीकरण सोडवू ज्यामध्ये आपल्याला व्हेरिएबल्स वेगळे करणे आवश्यक आहे:

DV / dx = x ² / ई ^{x2 / 2} ;

DV = x2 * e ^{- x2 / 2} dx

अविभाज्य काढण्यासाठी, आम्हाला भागांद्वारे एकीकरण करणे आवश्यक आहे. तथापि, हा आमच्या लेखाचा विषय नाही. आपल्याला स्वारस्य असल्यास, आपण स्वत: ला कसे करावे ते जाणून घेऊ शकता हे कठीण नाही, आणि पुरेशी कौशल्ये आणि लक्ष देऊन जास्त वेळ लागत नाही.

समांतर समीकरणे सोडवण्यासाठी दुसरी पद्धत चालू करूया: बर्नोली पद्धत कोणता दृष्टिकोण जलद आणि सोपा आहे - हे आपल्यावर आहे

म्हणून या पद्धतीने समीकरण सोडवताना आपल्याला पर्याय तयार करणे आवश्यक आहे: y = k * n येथे k आणि n हे x वर अवलंबून काही फंक्शन्स आहेत. नंतर डेरिव्हेटिव्ह दिसेल: y '= k' * n + k * n '. समीकरणांमध्ये आम्ही दोन्ही पर्याय वापरतो:

K '* n + k * n' + x * k * n = x ²

गट:

K '* n + k * (n' + x * n) = x ²

आता ब्रॅकेट्स मध्ये जे शून्य आहे ते आपल्याला समीकरणे आवश्यक आहे. आता जर आपण दोन परिणामी समीकरणे एकत्रित केली, तर आपण प्रथम-ऑर्ड एक्सरॅरॅश्शन समीकरणाची एक प्रणाली मिळविली पाहिजे, ज्याचे निराकरण केले गेले पाहिजे:

N '+ x * n = 0;

के '* n = x ²

प्रथम समीकरण सामान्य समीकरण म्हणून निराकरण केले आहे. हे करण्यासाठी, आपण व्हेरिएबल्स विभक्त करणे आवश्यक आहे:

डीएन / डीएक्स = x * वी;

डीएन / एन = xdx.

आम्ही अविभाज्य घेतो आणि प्राप्त करतो: ln (n) = x 2/2 मग, आम्ही n व्यक्त केल्यास:

एन = ई ^{x2 / 2}

आता आपण परिणामी समता पर्याय प्रणालीच्या दुसऱ्या समीकरण मध्ये बदलतो.

के '* ई ^{x2 / 2} = x2

आणि रूपांतरित केल्याने आपल्याला पहिल्या पद्धतीप्रमाणे समान समानता मिळते:

Dk = x ² / e ^{x2 / 2}

आम्ही पुढील कृती तोडणार नाही. हे म्हणणे योग्य आहे की पहिल्या वेळी प्रथम-क्रम विभेदक समीकरणाचे समाधान महत्वपूर्ण अडचणींना कारणीभूत ठरते. तथापि, विषयातील सखोल विसर्जनासह, हे चांगले आणि चांगले मिळविण्यासाठी सुरू होते

कोठे अंतर समीकरण वापरले आहेत?

भौतिक शास्त्रांमध्ये खूप सक्रिय अंतर समीकरण वापरले जातात, कारण जवळजवळ सर्व मूलभूत कायदे विभेदकारी स्वरूपात लिहिलेले आहेत, आणि आपण ज्या सूत्रांना बघतो ते या समीकरणाचे समाधान आहेत. रसायनशास्त्रात, ते एकाच कारणासाठी वापरले जातात: मूलभूत कायदे त्यांचे मदत घेऊन आले आहेत. जीवशास्त्र मध्ये, विभेदक समीकरणाचा वापर प्रणालीच्या वर्तनास चालविण्यासाठी होतो, उदाहरणार्थ शिकारी - शिकार ते देखील प्रजनन मॉडेल, म्हणू, सूक्ष्मजीव एक कॉलनी तयार करण्यासाठी वापरले जाऊ शकते.

वैयिक्तिक समीकरणे आयुष्यात कशी मदत करतील?

या प्रश्नाचे उत्तर सोपे आहे: कोणताही मार्ग नाही आपण शास्त्रज्ञ किंवा अभियंता नसल्यास, आपल्यासाठी उपयुक्त असल्याचे संभव नाही. तथापि, सर्वसाधारण विकासासाठी, एक अवकल समीकरण काय आहे आणि त्याचे निराकरण कसे केले जाते हे जाणून घेणे अवास्तव नाही. आणि मग मुलगा किंवा मुलीचा प्रश्न "अंतर समीकरण म्हणजे काय?" आपण कंद-डी-सॅकमध्ये ठेवू नका. आपण शास्त्रज्ञ किंवा अभियंता असल्यास, आपण स्वत: ला कोणत्याही विषयातील या विषयाचे महत्त्व समजू शकतो. पण मुख्य गोष्ट अशी आहे की आता "प्रथम ऑर्डरमधील अंतर समीकरण कसे सोडवायचे?" आपण नेहमी उत्तर देऊ शकता. सहमत आहात, हे नेहमी आनंददायी असते, जेव्हा आपण समजतो की लोक काय समजून घेण्यास घाबरत आहेत.

अभ्यासात मुख्य समस्या

हे विषय समजून घेण्यातील मुख्य समस्या म्हणजे एकत्रित आणि भिन्नता असलेल्या फलनातील कौशल्य. जर आपण डेरिव्हेटिव्ह आणि इंपैरिलल्सना वाईट प्रकारे नकार दिला, तर कदाचित ते जाणून घेण्यासाठी फायदेशीर ठरतील, एकात्मता आणि भेदांच्या वेगवेगळ्या पद्धतींचा मागोवा घ्या, आणि फक्त त्यानंतर लेख मध्ये वर्णन केलेल्या सामग्रीचा अभ्यास सुरू करण्यासाठी.

डीएक्स हस्तांतरीत करतांना ते शिकतात तेव्हा काही लोक आश्चर्यचकित होतात कारण पूर्वी (शाळेत) असे म्हटले होते की अपूर्णांक / डीएक्स अविभाज्य आहे. येथे आपण डेरिव्हेटिव्हवर साहित्य वाचले पाहिजे आणि हे समीकरण सोडवण्यासाठी वापरले जाणारे अनियमित घटकांचे गुणोत्तर हे समजून घेण्याची गरज आहे.

बर्याच लोकांना लगेच लक्षात येत नाही की प्रथम श्रेणीतील समीकरण सोडवणे बहुधा एक कार्य किंवा अविभाज्य अविभाज्य आहे आणि या चुकीचा अर्थ त्यांना खूप त्रास देतो.

अधिक चांगल्या प्रकारे समजून घेण्यासाठी आपण आणखी काय अभ्यास करू शकता?

विशेष पाठ्यपुस्तकांपासून विभेदकारी कलनशास्त्राच्या जगात अधिक बुडवणे प्रारंभ करणे सर्वोत्तम आहे, उदाहरणार्थ, गणिती विश्लेषणातील गैर गणिती विषयांच्या अभ्यासासाठी. मग आपण अधिक विशिष्ट साहित्याकडे जाऊ शकता.

हे उल्लेखनीय आहे की, अंतर समीकरणांव्यतिरिक्त, समीकरणे समीकरणे आहेत, जेणेकरून आपण नेहमीच काहीतरी प्रयत्न कराल आणि काय अभ्यास करावा.

निष्कर्ष

आम्हाला आशा आहे की हा लेख वाचल्यानंतर आपणास एक कल्पना आहे की अंतर अवतार काय आहेत आणि कसे त्यांना योग्यरितीने सोडवायचे.

कोणत्याही परिस्थितीत, गणित आपल्या जीवनात उपयोगी आहे. हे तर्क आणि लक्ष विकसित करते, ज्याशिवाय प्रत्येक व्यक्ती हात न आहे.