Differentials - हे काय आहे? कसे कार्य फरकाची शोधू?

डेरिव्हेटिव्ह सोबत त्यांची कार्ये differentials - तो काही मूलभूत संकल्पना अवकलन, या मुख्य विभाग गणिती विश्लेषण. inextricably जोडलेले, त्यांना दोन्ही अनेक शतके मोठ्या प्रमाणावर वैज्ञानिक आणि तांत्रिक क्रियाकलाप ओघात उठला जवळजवळ सर्व समस्या सोडवणे वापरले.

विविध संकल्पना उदय

प्रथमच हे स्पष्ट आहे की, अशा विभेद, संस्थापक (Isaakom Nyutonom सह) अवकलन प्रसिद्ध जर्मन गणितज्ञ Gotfrid Vilgelm Leybnits केले. की 17 व्या शतकात गणितज्ञ करण्यापूर्वी. , कोणत्याही ज्ञात कार्य काही infinitesimal "अखंड" अत्यंत अस्पष्ट आणि अस्पष्ट कल्पना वापरले खाली कदर कार्य फक्त असू शकत नाही एक अतिशय लहान सतत मूल्य पण शून्य समान नाही, प्रतिनिधित्व. त्यामुळे कार्य वितर्क आणि नंतरचे डेरिव्हेटिव्ह दृष्टीने व्यक्त केले जाऊ शकते की कार्ये आपापल्या वाढ च्या infinitesimal वाढ दूर परिचय फक्त एक पाऊल होते. आणि हे चरण जवळजवळ एकाच वेळी वरील दोन महान शास्त्रज्ञ घेण्यात आला.

वेगाने उद्योग आणि तंत्रज्ञान विकसित विज्ञान धैर्याने तोंड देणे की त्वरित व्यावहारिक रचना समस्या गरज आधारित, न्यूटन, लाइब्नित्स, अशा संकल्पना परिचय नेतृत्व कोणत्या (विशेषत: शरीर ओळखले मार्गक्रमण च्या यांत्रिक गती संबंधित) बदल दर कार्ये शोधत सामान्य मार्ग तयार साधित कार्य आणि भिन्नता, आणि ओळखले स्वतः (चल) म्हणून अल्गोरिदम व्यस्त समस्या उपाय अविभाज्य संकल्पना झाली आहे की मार्ग शोधण्यासाठी फिरून गती आढळले अलाउद्दीन.

लाइब्नित्स आणि न्यूटन च्या कल्पना कामे प्रथम हे दिसू लागले differentials की - मूलभूत वितर्क वाढ Δh नंतरचे मूल्य गणना यशस्वीरित्या लागू केले जाऊ शकते की Δu कार्ये वाढ प्रमाणात आहे. Δh → म्हणून शून्य राखीत, उर्वरित - दुसऱ्या शब्दांत, ते वाढ कार्य (व्याख्या त्याच्या डोमेनमध्ये) कोणत्याही क्षणी होऊ शकते की शोधला आहे त्याच्या साधित Δu = y '(नाम) Δh + αΔh दोन्ही जेथे α Δh माध्यमातून व्यक्त आहे 0, प्रत्यक्ष Δh पेक्षा खूपच जलद.

गणिती विश्लेषण स्थापनेत मते, differentials - या नक्की कोणत्याही कार्ये वाढ पहिल्या टर्म आहे. अगदी स्पष्टपणे परिभाषित मर्यादा संकल्पना क्रम साधित फरकाची मूल्य कार्य झुकत आपसूकच समजले आहेत न करता, तेव्हा Δh → 0 - Δu / Δh → y '(नाम).

प्रामुख्याने भौतिकशास्त्रज्ञ आणि शारीरिक समस्या अभ्यासासाठी एक अधिक साधन मानले गणिती उपकरणे कोण होता न्यूटन, विपरीत, लाइब्नित्स या Toolkit वर अधिक लक्ष दिले दृश्य आणि आकलनीय प्रतीक गणिती मूल्यांच्या प्रणाली समावेश आहे. हे differentials कार्य उप मानक नोटेशन प्रस्तावित = y '(नाम) डीएक्स, डीएक्स, आणि त्यांचा संबंध y म्हणून वाद कार्य व्युत्पन्न' कोण (x) = उप / dx होते.

आधुनिक व्याख्या

आधुनिक गणित दृष्टीने भिन्नता काय आहे? हे लक्षपूर्वक एक वेरियेबल वाढ संकल्पना संबंधित आहे. चल हो हो y = ₁ एक प्रथम मूल्य घेते _{असल्यास,} y = y _2, फरक y ₂ ─ y ₁ वाढ मूल्य y म्हणतात. वाढ सकारात्मक असू शकते. नकारात्मक आणि शून्य. शब्द "वाढ" Δ, Δu रेकॉर्डिंग नियुक्त आहे ( 'डेल्टा y' वाचा) वाढ y मूल्य दर्शविण्याकरीता केला जातो. त्यामुळे Δu = y ₂ ─ y _1.

मूल्य Δu अनियंत्रित कार्य y = f (x) Δu = एक Δh + α, एक Δh नाही विश्वास, टी कुठे आहे म्हणून प्रस्तुत केले जाऊ शकते. दिले x साठी ई ए = const, आणि मुदत α Δh → 0 झुकत तेव्हा तो अगदी जलद प्रत्यक्ष Δh, नंतर प्रथम ( "मास्टर") एक पद प्रमाणात Δh पेक्षा घोषीत आहे, आणि y = f (x) भिन्नता आहे, उप किंवा df (x) (वाचा "y डी", "डी एक्स पासून eff"). म्हणून differentials - वाढ Δh कार्ये घटक संबंधित "मुख्य" रेषेचा.

यांत्रिक स्पष्टीकरण

हलवून एक सरळ रेषा मध्ये अंतर - च्या फ (ट) = द्या साहित्य बिंदू (- प्रवास वेळ टी) प्रारंभिक स्थान. बढती Δs - कालावधी .DELTA.t दृष्टीने मार्ग आहे, आणि भिन्नता डी.एस. = फ - (ट) '(ट) Δt की एक बिंदू तो फ दर ठेवले तर, याच काळात .DELTA.t पास होईल मार्ग आहे', करार वेळ टी येथे पोहोचला . एक infinitesimal Δt डी एस काल्पनिक मार्ग प्रत्यक्ष Δs infinitesimally Δt संदर्भात उच्च ऑर्डर येत वेगळे तेव्हा. वेळ टी येथे गती शून्य समान नसेल, तर अंदाजे मूल्य डी एस लहान बायस बिंदू देते.

भूमितीय अर्थ लावणे

ओळ एल y = f (x) आलेख आहे द्या. मग Δ x = MQ, Δu = QM '(पहा. खाली आकृती). स्पर्शिका मार्लन Δu दोन भाग, नियंत्रण आणि एन.एम. 'मध्ये कट करते. प्रथम आणि Δh आहे प्रमाणात नियंत्रण = MQ टीम (कोन QMN) = Δh स्त्री '(x), टी. ई नियंत्रण उप भिन्नता आहे ∙.

फरक Δu NM'daet ─ उप, Δh → 0 एन.एम. लांबी 'अधिक जलद प्रतिपादन वाढ पेक्षा कमी, तेव्हा दुसऱ्या भागात तो Δh पेक्षा जास्त smallness क्रम आहे म्हणजे. या प्रकरणात, तर स्त्री '(नाम) ≠ 0 (नॉन-समांतर स्पर्शरेषा बैल) विभागांना QM'i नियंत्रण समतुल्य; इतर शब्दात एन.एम. 'वेगाने (त्याच्या उच्च smallness क्रम) एकूण वाढ Δu = QM पेक्षा कमी'. या आकृती (गाठत विभाग M'k एम NM'sostavlyaet सर्व लहान टक्केवारी QM 'विभाग) मध्ये स्पष्ट आहे.

त्यामुळे, हुबेहुब अनियंत्रित कार्य स्पर्शरेषा च्या दर्जाचा च्या वाढ समान आहे भिन्नता.

व्युत्पन्न आणि भिन्नता

अभिव्यक्ती वाढ कार्याचे पहिल्या टर्म मध्ये एक घटक त्याच्या साधित स्त्री '(x) मूल्य समान आहे. त्यामुळे खालील संबंध - उप = f (x) Δh '(नाम) Δh किंवा df (नाम) f ='.

स्वतंत्र युक्तिवाद वाढ त्याच्या भिन्नता Δh = डीएक्स समान आहे की ओळखले जाते. म्हणून, आम्ही लिहू शकता: f '(x) डीएक्स = उप.

शोधत (कधी कधी "निर्णय" असे म्हटले) differentials डेरिव्हेटिव्ह म्हणून समान नियम केले आहे. त्यांना एक यादी खाली दिली आहे.

काय अधिक सार्वत्रिक आहे: वितर्क किंवा त्याच्या विविध वाढ

येथे काही स्पष्टीकरणे करणे आवश्यक आहे. लोकप्रतिनिधी मूल्य स्त्री '(नाम) भिन्नता Δh शक्य एक घटक म्हणून नाम विचार तेव्हा. पण फंक्शन कॉम्प्लेक्स, नाम वाद टन कार्य असू शकते जे असू शकते. मग स्त्री '(नाम) Δh फरकाची अभिव्यक्ती प्रतिनिधित्व, एक नियम म्हणून, ते अशक्य आहे; रेषेचा विश्वास x = येथे + b बाबतीत वगळता.

सूत्र फ म्हणून '(नाम) डीएक्स = उप, x सदनिका प्रचलीय विश्वास बाबतीत स्वतंत्र युक्तिवाद नाम बाबतीत (नंतर डीएक्स = Δh), तो भिन्नता आहे.

उदाहरणार्थ, अभिव्यक्ती 2 X Δh y = x ² त्याच्या भिन्नता नाम मुद्दा आहे तेव्हा आहे. आम्ही आता x = टी ² आणि टी वाद असे गृहीत धरतो. मग y = x ² = टी ^4.

या (टी + Δt) ² = टी ² + 2tΔt + Δt ^{2 लागतो.} त्यामुळे Δh = 2tΔt + Δt ^2. त्यामुळे: 2xΔh = 2t ² (2tΔt + Δt ^2).

या अभिव्यक्ती Δt प्रमाणात नाही आहे, आणि म्हणून आता 2xΔh भिन्नता नाही आहे. हे समीकरण y = x ² = टी ⁴ पासून आढळू ^{शकते.} समान उप = 4t ³ Δt आहे.

आम्ही अभिव्यक्ती 2xdx असेल तर, तो भिन्नता y = x ² कोणतेही वितर्क टी आहे. खरंच, तेव्हा x = टी ² डीएक्स = 2tΔt प्राप्त.

त्यामुळे 2xdx = 2t ² 2tΔt = 4t ³ .DELTA.t, टी. ई दोन विविध चलने रेकॉर्ड अभिव्यक्ती differentials एकाचवेळी.

वाढ differentials बदली

फ, तर '(नाम) ≠ 0, नंतर Δu आणि उप समतुल्य (तेव्हा Δh → 0); तर स्त्री '(x) = 0 (अर्थ आणि उप = 0), ते समतुल्य नाही.

उदाहरणार्थ, y = x ^2, नंतर Δu = (x + Δh) ² ─ x ² = 2xΔh + Δh ² आणि उप तर = 2xΔh. तर x = 3, नंतर आम्ही Δu = 6Δh + Δh ² आणि उप योग्य Δh ² → 0 समतुल्य आहेत = 6Δh, तेव्हा x = 0 मूल्य Δu = Δh ² आणि उप = 0 समतुल्य नाही.

हे खरं, एकत्र विविध साधी रचना (मी. Δh संदर्भात ई Linearity), अनेकदा अंदाजे हिशोब, मानून वापरले जाते लहान Δh साठी Δu ≈ उप आहे. भिन्नता कार्य सहसा वाढ अचूक मूल्य गणना करणे सोपे आहे शोधा.

उदाहरणार्थ, आम्ही कापून धातूचा घन आहे x = 10.00 सेंमी. Δh =. कसे वाढ खंड घन व्ही 0,001 सेंमी वर lengthened धार गरम? आम्ही v = x ^2, त्यामुळे डी व्ही = 3x ² = Δh 3 ∙ ∙ ⁰ 10 2/01 = 3 (सें.मी. ^3). वाढलेली ΔV समतुल्य भिन्नता DV, त्यामुळे ΔV = 3 सेंमी ^3. पूर्ण गणना देईल ³ ΔV = 10,01 ─ ¹⁰ मार्च = 3.003001. पण पहिल्या अविश्वसनीय वगळता सर्व अंक परिणाम; त्यामुळे, 3 सें.मी. ³ पर्यंत पूर्णांक अजूनही आवश्यक ^आहे.

अर्थात, हा दृष्टिकोन तो त्रुटी दिले मूल्य अंदाज करणे शक्य आहे तरच उपयुक्त आहे.

भिन्नता कार्य: उदाहरणे

च्या साधित शोधत कार्य y = x ³ फरकाची शोधण्याचा प्रयत्न ^{केले पाहिजे.} आम्हाला युक्तिवाद वाढ Δu देणे आणि व्याख्या करू.

Δu = (Δh + x) ³ ─ x ³ = 3x ² + Δh (Δh 3xΔh ² + ^3).

येथे, गुणांक ए = 3x ^2, Δh अवलंबून नाही, जेणेकरून पहिल्या टर्म प्रमाणात Δh, इतर सदस्य 3xΔh Δh ² + ³ हा आहे Δh → 0 प्रतिपादन वाढ जास्त वेगाने कमी होते. यामुळे, या 3x ² Δh सदस्य y = x ³ फरकाची ^आहे:

उप = 3x ² Δh = 3x ² डीएक्स किंवा ड (x ³⁾ = 3x ² डीएक्स.

ज्यामध्ये ड (x ³⁾ / dx = 3x ^2.

कार्य y उप आम्ही आता शोधू = 1 / साधित करून नाम. मग ड (1 / x) / dx = ─1 / x ^2. म्हणून उप = ─ Δh / x ^2.

मूलभूत बीजगणितातील कार्ये खालीलप्रमाणे आहेत differentials.

भिन्नता वापरून अंदाजे गणिते

कार्य f (x) मूल्यमापन, आणि त्याच्या साधित स्त्री '(नाम) येथे x = एक अनेकदा कठीण आहे, पण x = एक परिसरातील समान असे करणे सोपे नाही आहे. मग अंदाजे अभिव्यक्ती मदतीला धावून

फ (एक + Δh) ≈ फ '(एक) Δh + F (एक).

हे त्याच्या भिन्नता Δh फ '(एक) Δh माध्यमातून लहान वाढ येथे अंदाजे कार्याचे मूल्य देते.

म्हणून, हे सूत्र त्याचे मूल्य एक रक्कम भाग (x = एक) आणि त्याच सुरवात मध्ये विविध सुरवात म्हणून एक लांबी Δh एक भाग शेवटी वेळी कार्य अंदाजे अभिव्यक्ती देते. खाली कार्य मूल्ये ठरविण्यासाठी पद्धत अचूकता रेखाचित्र स्पष्ट होते.

मात्र ओळखले आणि कार्य x = a + Δh मूल्य सूत्र मर्यादित वाढ दिलेल्या अचूक अभिव्यक्ती (किंवा, वैकल्पिकरित्या, Lagrange सूत्र)

फ (एक + Δh) ≈ फ '(ξ) Δh + F (अ),

बिंदू x = a + ξ, पासून x = एक x = a + Δh मध्यांतर आहे जेथे त्याचे अचूक स्थान अज्ञात आहे जरी. अचूक सूत्र अंदाजे सूत्र त्रुटी मूल्यमापन करण्यासाठी परवानगी देते. तो अचूक असेल संपते, पण देते एक नियम म्हणून, विविध दृष्टीने मूळ अभिव्यक्ती पेक्षा जास्त चांगले दृष्टिकोन जरी आम्ही, Lagrange सूत्र ξ = Δh / 2 मध्ये ठेवले तर.

भिन्नता अर्ज मूल्यमापन सूत्रे त्रुटी

मोजमाप तत्त्व, चुकीचा, आणि त्रुटी संबंधित मापन डेटा आणणे. ते मर्यादित द्वारे दर्शविले आहेत परिपूर्ण त्रुटी, सकारात्मक, स्पष्टपणे निरपेक्ष मूल्य (किंवा ते समान सर्वात) त्रुटी फार - किंवा, थोडक्यात, मर्यादा त्रुटी. मर्यादित नातेवाईक त्रुटी भागाकार मोजली मूल्य निरपेक्ष मूल्य ते वाटून प्राप्त म्हणतात.

द्या अचूक सूत्र y = f (x) कार्य vychislyaeniya युवराज वापरले, परंतु नाम मूल्य मापन परिणाम आहे, आणि म्हणून y त्रुटी आणते. मग, मर्यादित परिपूर्ण त्रुटी │Δu│funktsii y शोधण्यासाठी सूत्र वापरून

│Δu│≈│dy│ = │ स्त्री '(नाम) ││Δh│,

जेथे │Δh│yavlyaetsya किरकोळ त्रुटी वितर्क. │Δu│ प्रमाणात म्हणून वर गोळाबेरीज करणे आवश्यक आहे चुकीचा गणना स्वतः भिन्नता गणना वाढ बदलण्याची शक्यता आहे.