एक कार्ये आणि अनेक चलने अवकलन

अवकलन साधित, differentials आणि कार्ये अभ्यास त्यांचा वापर विश्लेषण जे गणिती विश्लेषण, एक शाखा आहे.

कथा

अवकलन 17 व्या शतकाच्या दुसऱ्या सहामाहीत स्वतंत्र शिस्त म्हणून उदय, न्यूटन, लाइब्नित्स, differentials हिशोब मूलभूत तरतुदी तयार आणि एकात्मता आणि भेद दरम्यान कनेक्शन लक्षात कोण काम धन्यवाद. शिस्त असल्याने ज्या अपराधामुळे तो गणिती विश्लेषण आधारावर स्थापन, integrals हिशोब सोबत विकसित केले आहे. या खडा देखावा गणिती जगात नवीन आधुनिक काळात उघडले आणि विज्ञान नवीन शिस्त उदय झाले. तसेच नैसर्गिक विज्ञान आणि अभियांत्रिकी गणित अर्ज शक्यता वाढविले.

मूलभूत संकल्पना

अवकलन गणित मूलभूत संकल्पना आधारित आहे. ते आहेत: प्रत्यक्ष संख्या, सातत्य आणि कार्याचे मर्यादा. एक वेळ केल्यानंतर, ते एक आधुनिक रूप घेतले आहेत, अविभाज्य आणि अवकलन धन्यवाद.

तयार करण्याची प्रक्रिया

अर्ज फॉर्म, आणि नंतर वैज्ञानिक पद्धत अवकलन निर्मिती निकोलाय Kuzansky करून तयार केला आहे तात्विक सिद्धांत, उदय आधी आली. त्याचे काम न्यायाच्या प्राचीन विज्ञान उत्क्रांत विकास मानली जाते. तत्वज्ञानी स्वत: एक गणितज्ञ होता नाही असूनही, गणिती विज्ञान विकास योगदानासाठी निर्विवाद आहे. Cusa, सर्वात अचूक विज्ञान म्हणून अंकगणित विचार प्रथम बाहेर एक, गणित प्रश्न मध्ये वेळ टाकल्यावर.

प्राचीन गणितज्ञ सार्वत्रिक निकष, एक युनिट होता, एक नवीन उपाय गणित म्हणून प्रस्तावित तत्वज्ञानी अचूक संख्या परत आहे. गणिती विज्ञान अचूकता या अवतरण प्रतिनिधित्व संबंधात. वैज्ञानिक ज्ञान, त्याच्या दृश्य, विवेकी आणि बुद्धिमान विभागलेला आहे. दुसरा, अधिक अचूक आहे शास्त्रज्ञ त्यानुसार, पासून माजी केवळ अंदाजे परिणाम देते.

कल्पना

मूलभूत कल्पना आणि विशिष्ट गुण एक लहान शेजारच्या कार्य संबंधित अवकलन संकल्पना. त्यासाठी एका रेषेचा कार्य किंवा polynomial वर्तन बंद स्थापित गुण लहान शेजारच्या ज्या वर्तन अभ्यास कार्य करण्यासाठी एक गणिती उपकरणे तयार करण्यासाठी आवश्यक आहे. साधित आणि विविध हे व्याख्या आधारित.

उदय साधित संकल्पना समान प्रकारच्या मर्यादा मूल्ये निश्चित साधला जे नैसर्गिक विज्ञान आणि गणित समस्या, मोठ्या प्रमाणात झाल्याने होते.

मुख्य कार्ये सर्वात जुनी शाळा इयत्ता पासून सुरू होणारे एक उदाहरण म्हणून दिले आहेत की, एक, एक सरळ रेषा आणि या वक्र करण्यासाठी स्पर्शरेषा ओळ बांधकाम मध्ये एक बिंदू गती गती निर्धारित आहे. भिन्नता ही लिंक, तो एका रेषेचा कार्य बिंदू एक लहान शेजारच्या कार्य अंदाज करणे शक्य आहे पासून.

प्रत्यक्ष variable मध्ये फंक्शन व्युत्पन्न संकल्पना तुलनेत, differentials व्याख्या फक्त सामान्य निसर्ग कार्य, विशेषतः दुसऱ्या एक Euclidean जागा प्रतिमा जातो.

साधित

य अक्ष च्या दिशेने बिंदू यानुरूप द्या, वेळ आम्ही एक क्षण सुरुवातीपासून मोजली जाते जे नाम, घ्या. अशा चळवळ वर्णन कार्य y = f (x) प्रत्येक वेळी नाम संबंधित आहे displaceable बिंदू समन्वय, शक्य आहे. यांत्रिकीमध्ये हे फंक्शन कॉल गती नियम घेणे. गती, विशेषतः असमान, मुख्य वैशिष्ट्यपूर्ण आहे समकालीन गती. बिंदू यांत्रिकी नियमशास्त्राप्रमाणे य अक्ष बाजूने हलविला तेव्हा, यादृच्छिक वेळी तो समन्वय नाम f (x) मिळविते. वेळी x + Δh, Δh वेळ वाढ प्रस्तुत केले जाते, हे फ (x + Δh) kordinaty आहे. त्यामुळे तयार सूत्र Δy = f (x + Δh) - फ (क्ष), जे वाढ कार्य म्हणतात. हे x + Δh x ला वेळ दरम्यान फिरून मार्ग एक बिंदू आहे.

वेळ साधित येथे गती घटना संबंधात पाहिली जाते. निश्चित टप्प्यावर कोणत्याही कार्य व्युत्पन्न मर्यादा म्हणतात (गृहीत धरून अस्तित्वात). काही ठराविक वर्ण संदर्भित केले जाऊ शकतात:

फ '(क्ष), y', y, df / dx, उप / dx, डीएफ (x).

कॉल भेद साधित गणना प्रक्रिया.

अनेक चलने कार्ये अवकलन

कार्य अभ्यास, अनेक चलने गणना करत असताना ही पद्धत लागू आहे. तेव्हा, दोन चल X आणि Y, बिंदू A येथे नाम संदर्भात आंशिक साधित आहेत निश्चित युवराज सह नाम मध्ये हे कार्य व्युत्पन्न असे म्हटले जाते.

खालील चिन्हे सूचित केले जाऊ शकते:

फ '(क्ष) (x, y), u' (नाम), ∂u / ∂x आणि ∂f (x, y) '/ ∂x.

आवश्यक कौशल्य

यशस्वीरित्या जाणून घेण्यासाठी आणि एकात्मता आणि भेद मध्ये diffury आवश्यक कौशल्ये सोडविण्यास सक्षम असू करण्यासाठी. सोपे भेद समीकरण समजून करण्यासाठी, विषय साधित आणि समजले करणे आवश्यक आहे अनिश्चित अविभाज्य. तसेच पूर्ण कार्य व्युत्पन्न शोधणे जाणून घेण्यासाठी दुखापत नाही. हे खरं शिक्षण प्रक्रियेत अनेकदा integrals आणि भेद वापर करेल झाल्यामुळे आहे.

भेद समीकरण प्रकार

अक्षरशः संबद्ध सर्व नियंत्रण काम पहिल्या ऑर्डर भेद समीकरण, एकसंध, वेगळा व्हेरिएबल्स, रेषेचा inhomogeneous: समीकरणे 3 प्रकार आहेत.

देखील एकूण differentials, सेंट पीटर्सबर्ग, रशिया समीकरण, आणि इतर अधिक दुर्मिळ प्रजाती समीकरणे आहेत.

प्राथमिक उपाय

, सुरू करण्यासाठी आम्ही लक्षात ठेवले पाहिजे शाळा अर्थातच बीजगणितातील समीकरण आहे. ते चल आणि संख्या असू. परंपरागत समीकरण निर्दिष्ट केलेल्या अट पूर्ण संख्या भरपूर शोधण्यासाठी पाहिजे निराकरण करण्यासाठी. थोडक्यात, या समीकरणे एक मूळ आहे, आणि वैधता केवळ अज्ञात ठिकाणी हे मूल्य पर्याय पाहिजे.

भिन्नता समीकरण हे समान आहे. साधारणतया, पहिल्या आदेशाची एक समीकरण समावेश:

• स्वतंत्र चल.
• प्रथम कर्तव्य आहे एक साधित.
• फंक्शन किंवा अवलंबून चल.

काही प्रकरणांमध्ये, कोणीही अज्ञात, नाम किंवा y असू शकते, पण ते खरे होते उपाय आणि अवकलन नाही उच्च ऑर्डर डेरिव्हेटिव्ह त्यात पहिल्या साधित असणे आवश्यक आहे म्हणून ते महत्वाचे नाही.

भिन्नता समीकरण सोडवा - योग्य दिलेल्या अभिव्यक्ती आहेत की सर्व कार्ये संच शोधण्यासाठी याचा अर्थ. कार्ये अशा संच अनेकदा सामान्य उपाय नियंत्रण म्हणतात.

अविभाज्य गणिताची एक शाखा

अविभाज्य गणिताची एक शाखा अविभाज्य, गुणधर्म आणि त्याच्या गणना पद्धती संकल्पना विश्लेषण जे गणिती विश्लेषण, विभाग एक आहे.

अनेकदा एक वक्ररेषांनी युक्त आकार क्षेत्र गणना करताना अविभाज्य हिशोब येते. या दिशेने त्याच्या हातात एक हळूहळू वाढ, आणि डेटा बाजूला शिलालेख बहुभुज आकार पूर्वनिश्चित क्षेत्र कोणत्याही पूर्वी निर्देशीत अनियंत्रित लहान मूल्य पेक्षा कमी केली जाऊ शकते एक मर्यादा क्षेत्र, अर्थ.

कोणत्याही भौमितिक आकार क्षेत्र हिशोब मुख्य कल्पना एक आयत क्षेत्र गणना आहे, नंतर त्याचे क्षेत्र रुंदी करून लांबी उत्पादन समान आहे की पुरावा आहे. तो भूमिती येतो तेव्हा, नंतर सर्व बांधकाम अधिकार गाजवायला आणि होकायंत्र वापरून केले जातात, आणि नंतर रुंदी लांबी प्रमाण, एका कारणाचा मूल्य आहे. हक्क त्रिकोणाच्या क्षेत्र गणना तेव्हा निर्धारित केले जाऊ शकते की, तुम्ही एक पुढील त्रिकोण ठेवले तर, एक आयत तयार होतो. समांतरभुज भागात आयत एक त्रिकोण आत समान पण थोडे अधिक क्लिष्ट पद्धत गणना केली जाते. एक बहुभुजाकृती क्षेत्र त्यात समाविष्ट त्रिकोण मानले जाते.

अनियंत्रित दया निर्धारीत करताना, ही पद्धत वक्र बसत नाही. आम्ही वैयक्तिक चौरस भाग असेल तर, तो unfilled ठिकाणी राहील. या प्रकरणात, त्या एक परिणाम म्हणून कार्य आलेख समावेश समाविष्ट नाही, वरील व खालील आयत, दोन अंगरखे वापर करण्याचा प्रयत्न करा. येथे महत्वाचे हे आयत खंडित करण्याचा एक मार्ग आहे. तसेच, आम्ही ब्रेक अधिक आणि अधिक कमी घेतले तर वरच्या व खालच्या परिसरात एक विशिष्ट मूल्य वर येणे आवश्यक आहे.

हे आयत मध्ये विभक्त एक पद्धत परत पाहिजे. दोन लोकप्रिय पद्धती आहेत.

Riemann लाइब्नित्स आणि न्यूटन तयार अविभाज्य, व्याख्या औपचारिक होते, subgraph क्षेत्र म्हणून. या प्रकरणात, आम्ही मध्यांतर वाटून प्राप्त उभ्या आयत निश्चित संख्या होणारी एक आकृती मानले. एक कमी ब्रेकिंग तेव्हा अशा आकृती कमी क्षेत्र, या मर्यादा एक निर्दिष्ट अंतराने एक फंक्शन Riemann अविभाज्य असे म्हटले जाते एक मर्यादा आहे.

एक दुसरी पद्धत Lebesgue अविभाज्य बांधकाम वेगळे ठिकाणी integrand एक भाग वर नियुक्त की क्षेत्र आणि नंतर या भागात प्राप्त मूल्ये अविभाज्य रक्कम संकलित, कालांतराने मूल्ये त्याच्या श्रेणी वाटून, आणि नंतर संबंधित उपाय या integrals व्यस्त प्रतिमा जिची खरं होणारी आहे.

आधुनिक साधने

भिन्नता आणि अविभाज्य गणिताची एक शाखा Fikhtengol'ts अभ्यास मुख्य फायदे लिहिले - "तफावत आणि अविभाज्य गणना." त्याचे पाठ्यपुस्तक इतर भाषांमध्ये अनेक आवृत्त्या अनुवाद विरोध जे गणिती विश्लेषण अभ्यास, एक मूलभूत साधन आहे. विद्यार्थ्यांना आणि वेळ अभ्यास मुख्य फायदे एक, शैक्षणिक संस्था विविध वापरले तयार केले. हे सैद्धांतिक माहिती आणि व्यावहारिक कौशल्य देते. प्रथम 1948 मध्ये प्रकाशित झाले.

अल्गोरिदम संशोधन कार्य

अवकलन कार्य पद्धती अन्वेषण करण्यासाठी, आपण अनुसरण आधीच अल्गोरिदम दिले जाते आवश्यक आहे:

1. फंक्शन डोमेन शोधा.
2. दिले समीकरण मुळे शोधा.
3. कमाल गणना. हे करण्यासाठी, आम्ही साधित आणि तो शून्य समान आहे जेथे बिंदू गणना.
4. आम्ही मूल्य वायूच्या प्राप्त पर्याय.

भेद समीकरण वाण

प्रथम ऑर्डर (अन्यथा, एक variable ची अवकलन) आणि त्यांचे प्रकार नियंत्रण:

• फ (y) उप = ग्रॅम (x) डीएक्स: वेगळा चल समीकरण आहे.
• एक परिवर्तनशील सोपा समीकरण किंवा अवकलन कार्य, सूत्र येत: y '= f (x).
• रेषेचा पहिल्या ऑर्डर nonuniform नियंत्रण: y '+ P (x) y = प्रश्न (x).
• सेंट पीटर्सबर्ग, रशिया भिन्नता समीकरण: y '+ P (x) y = प्रश्न (x) एक y.
• एकूण differentials समीकरण: P (x, y) डीएक्स + Q (x, y) उप = 0.

दुसरी ऑर्डर आणि त्यांचे प्रकार फरकाची समीकरणे:

• सतत ^गुणक सह एकसंध रेषेचा दुसरी ऑर्डर भिन्नता ^{समीकरण: y n + PY + qy} = 0 p, q आर मालकीचे
• सतत गुणक ^{मूल्य} Inhomogeneous रेषेचा दुसरी ऑर्डर भिन्नता ^{समीकरण: y n + PY + qy} = f (x).
• एकसंध रेषेचा भिन्नता ^{समीकरण: y n + P (x)} y '+ Q (x) y = 0, आणि inhomogeneous दुसरी ऑर्डर ^{समीकरण: y n + P (x)} y' + Q (x) युवराज फ = (x).

उच्च ऑर्डर आणि त्यांचे प्रकार फरकाची समीकरणे:

• भिन्नता समीकरण ^{आदेशात} कपात ^{परवानगी: फॅ (x, y (के} ), युवराज (के + ^{1), .., y (n)} = 0.
• ^{_{y (n) + फ (:}} उच्च ऑर्डर ^{_{एकसंध}} लिनियर समीकरण n- ₁₎ युवराज ^(n-1) + ... + फ _1, y + फ ₀ y = 0, आणि ^{_{inhomogeneous: y (n) + फ (}} n _-1) युवराज ^(n-1) + ... + फ _1, y + फ ₀ y = f (x).

भिन्नता समीकरण समस्या सोडवणे पाय-या

रिमोट कंट्रोल मदतीने गणित नाही केवळ या किंवा शारीरिक समस्या, पण जीवशास्त्र, अर्थशास्त्र, समाजशास्त्र आणि इतर विविध समस्या निराकरण आहेत. विषय विविध असूनही, या समस्या सोडवण्यासाठी एकच तर्कशास्त्र क्रम अनुसरण करावे:

1. नियंत्रण रेखांकन. एक सर्वात कठीण पायऱ्या, जास्तीत जास्त अचूकता आवश्यक कारण कोणत्याही चूक पूर्णपणे चुकीचे परिणाम होईल, आहे. हे प्रक्रिया प्रभावित सर्व घटक खात्यात घेणे आणि प्रारंभिक परिस्थिती निश्चित करणे आवश्यक आहे. हे देखील तथ्य आणि तार्किक निष्कर्ष आधारित पाहिजे.
2. सोडवणे आहे. तो गणिती गणिते केवळ कडक अंमलबजावणी आवश्यक असल्याने ही प्रक्रिया, पहिला मुद्दा करणे सोपे आहे.
3. विश्लेषण आणि परिणाम मूल्यमापन. साधित केलेली उपाय परिणाम व्यावहारिक आणि सैद्धांतिक मूल्य प्रतिष्ठापन करीता मूल्यमापन केले जाऊ नये.

विविध वापर उदाहरण औषध समीकरणे

औषध क्षेत्रातील रिमोट कंट्रोल वापरून epidemiological गणिती मॉडेल बांधकाम आढळले आहे. आम्ही महत्त्वाची भूमिका भिन्न जैविक लोकसंख्या आणि मानवी शरीरातील रासायनिक प्रक्रिया अभ्यास नाही, कारण विसरू नये या समीकरणे देखील जीवशास्त्र आणि रसायनशास्त्र, औषध बंद आहेत आढळले आहेत.

या उदाहरणात, संसर्ग रोगाची साथ प्रसार एक वेगळी समाजातील उपचार केले जाऊ शकतात. रहिवासी तीन प्रकार विभागली जातात:

• गेलेला, व्यक्ती, संसर्गजन्य वाहक समावेश जे नाम संख्या (टी), आहे, प्रत्येक संसर्गजन्य आहे (इनक्युबेशन कालावधी लहान आहे).
• दुसरा प्रकार संवेदनाक्षम व्यक्ती y (ट), दूषित संपर्क करून संसर्ग होऊ शकतो समावेश आहे.
• तिसर्या प्रकार दाद देत व्यक्ती z (ट), रोगप्रतिकार किंवा आजार झाल्यामुळे गमावले आहेत समावेश आहे.

व्यक्ती संख्या सतत, जन्म ठेवणे, नैसर्गिक मृत्यू आणि स्थलांतर मानली जात नाही. कोर दोन कल्पनेची असेल.

काही वेळी टक्के रोग नाम (टी) युवराज (ट) (जे प्रथम अंदाज मध्ये x ला प्रमाणात आहे की रुग्ण आणि प्रतिसाद सदस्य, दरम्यान छेदनबिंदू संख्या प्रमाणात प्रकरणांची संख्या सिद्धांत आधारित समज (टी) युवराज (ट)), मध्ये समान आहे म्हणून प्रकरणांची संख्या वाढत आहे, आणि संवेदनाक्षम कमी संख्या सूत्र कुर्हाड (टी) युवराज (ट) करून मोजले जाते जे दराने (एक> 0).

मृत्यू किंवा रोग प्रतिकारशक्ती प्राप्त की, प्रकरणांची संख्या, bX (ट) (b> 0) प्रमाणात आहे दराने वाढ नॉन-responders प्राणी संख्या.

एक परिणाम म्हणून, आपण त्याच्या निष्कर्ष आधारावर सर्व तीन निर्देशक सह समीकरणे एक प्रणाली सेट करू शकता.

अर्थशास्त्र उदाहरणार्थ वापर

अवकलन अनेकदा आर्थिक विश्लेषण वापरले जाते. आर्थिक विश्लेषण मुख्य कार्य अर्थव्यवस्था मूल्ये, कार्याचे स्वरूप नोंद असलेल्या अभ्यास मानले जाते. अशा प्रमाणात नवीन उपकरणे निवृत्त कर्मचारी बदलले जाऊ शकते काय लगेच आयकर वाढते बदल, नोंदणी शुल्क, उत्पादन मूल्य बदलत असताना महसूल बदल, समस्या सोडवणे वापरले जाते. अशा समस्या सोडवण्यासाठी, ते, अवकलन अभ्यास केल्याच्या येणारे चल, एक संवाद कार्य तयार करणे आवश्यक आहे.

जास्तीत जास्त उत्पादन सर्वाधिक उत्पन्न, कमी खर्च आणि त्यामुळे: आर्थिक क्षेत्र सर्वात चांगल्या कामगिरी शोधण्यासाठी अनेकदा आवश्यक आहे. अशा प्रत्येक घटक एक किंवा अधिक वितर्क कार्य आहे. उदाहरणार्थ, उत्पादन कामगार आणि भांडवल कार्य म्हणून मानले जाऊ शकते. या संबंधात, एक योग्य मूल्य शोधत जास्तीत जास्त किंवा एक किंवा अधिक चल एक फंक्शन किमान शोधत कमी केला जाऊ शकतो.

अशा समस्या आपण अवकलन गरज जे आर्थिक क्षेत्रात extremal समस्या, एक वर्ग तयार करा. आर्थिक निर्देशक कमी किंवा इतर घटक फंक्शन मिळवणे आवश्यक असेल तेव्हा, वाढ प्रमाण जास्तीत जास्त बिंदू वाद कार्य युक्तिवाद वाढ शून्य झुकत असल्यास शून्य कल आहे. अन्यथा, अशा वृत्ती काही सकारात्मक किंवा नकारात्मक मूल्य झुकत तेव्हा निर्दिष्ट बिंदू योग्य नाही, युक्तिवाद वाढवून किंवा कमी करून इच्छित दिशेने अवलंबून मूल्य बदलले जाऊ शकते कारण आहे. अवकलन परिभाषा मध्ये, ही कमाल कार्य आवश्यक अटी त्याचे साधित एक शून्य मूल्य आहे याचा अर्थ असा होईल.

अर्थव्यवस्था आर्थिक निर्देशक अनेक घटक बनलेले आहेत, कारण अनेक चलने एक फंक्शन extremum शोधण्याचे असामान्य समस्या नाही. अशा समस्या तसेच अनेक चलने, भिन्नता गणना पद्धत कार्ये सिद्धांत समजले आहेत. अशा समस्या फक्त मर्यादा मोठे समावेश नाही आणि कमी फंक्शन, पण. हे प्रश्न गणिती प्रोग्रामिंग संबंधित, आणि ते खास विकसित पद्धती मदत विज्ञान या शाखेत आधारित आहेत निराकरण आहेत.

अर्थव्यवस्था वापरले अवकलन पद्धती हेही एक महत्त्वाचा विभाग अंतिम चाचणी आहे. आर्थिक गोल मध्ये, पद चल कामगिरी संशोधन पद्धती संच संदर्भित आणि आपण, निर्मिती, वापर आवाज बदल तेव्हा त्यांच्या मर्यादा मूल्यांचे विश्लेषण आधारित परिणाम. संकेत मानले साधित किंवा अनेक व्हेरिएबल्स आंशिक डेरिव्हेटिव्ह मर्यादित.

अनेक चलने अवकलन - गणिती विश्लेषण एक महत्त्वाचा विषय. एक सखोल अभ्यास, आपण उच्च शिक्षण संस्था व शैक्षणिक साधने विविध वापरू शकता. "भिन्नता आणि अविभाज्य गणना." - सर्वात प्रसिद्ध तयार Fikhtengol'ts एक कसे नाव जास्त सिंहाचा महत्व फरकाची समीकरण उपाय integrals कार्य करण्यासाठी कौशल्य आहे. एक परिवर्तनशील कार्ये एक अवकलन आहे, तेव्हा निर्णय सोपे होते. तो नोंद पाहिजे, तरी, ते समान मूलभूत नियम पाळते. सराव, अवकलन कार्य चौकशी, फक्त नवीन चलने परिचय हायस्कूल मध्ये दिली जाते आधीच अस्तित्वात असलेल्या अल्गोरिदम, आणि फक्त थोडे क्लिष्ट अनुसरण करा.