भूमिती श्रेणी. निर्णय उदाहरणार्थ

सलग विचार करा.

7 28 112 448 1792 ...

जोरदार स्पष्टपणे दाखवतो, की मागील नक्की चार वेळा जास्त त्याचे घटक कोणत्याही मूल्य. त्यामुळे, या मालिकेत एक प्रगती आहे.

भौमितीक प्रगती संख्या असीम क्रम म्हणतात, मुख्य वैशिष्ट्य खालील संख्या काही निश्चित संख्या गुणाकार करून वरून प्राप्त आहे. या खालील सूत्र व्यक्त आहे.

_{एक z +1 z · q =} , जेथे z - निवडलेल्या घटक संख्या.

त्यानुसार, z ∈ एन

9 ग्रेड - शाळा भूमिती श्रेणी अभ्यास होते तेव्हा एका वेळी. उदाहरणे संकल्पना समजून घेण्यास मदत करेल:

0.25 0.125 0.0625 ...

18 फेब्रुवारी 6 ...

हे सूत्र आधारित, भाजक प्रगती आढळले खालीलप्रमाणे केले जाऊ शकते:

नाही q, किंवा ब _z शून्य असू शकत नाही. तसेच, घटक प्रत्येक संख्यांची मालिका प्रगती शून्य असू नये.

त्यानुसार, अनेक पुढील नंबर पाहू प्रश्न करून नंतरचे गुणाकार.

या प्रगती परिभाषित करण्यासाठी, आपण आणि भाजक पहिल्या घटक निर्देशीत करणे आवश्यक आहे. त्यानंतर खालील सदस्य आणि त्यांच्या रक्कम कोणत्याही शोधण्यासाठी शक्य आहे.

प्रजाती

प्रश्न आणि _{1 आधारीत,} या प्रगती अनेक प्रकार विभागली आहे:

• _{1 तर,} आणि क्विंटल पेक्षा जास्त क्रम आहे तर, - एक भूमिती श्रेणी प्रत्येक सलग घटक वाढ. उदाहरणे त्याचा खाली सविस्तर दिलेल्या आहेत.

उदाहरण: ₁ = 3, q = 2 - ऐक्य पेक्षा जास्त, दोन्ही घटक.

मग संख्या एक क्रम लिहिले जाऊ शकते:

3 6 ते 12 24 ते 48 ...

• तर | प्रश्नोत्तरे | एक, म्हणजेच कमी, तो विभाजन करून गुणाकार समतुल्य आहे, समान अटी प्रगती - भूमिती श्रेणी कमी. उदाहरणे त्याचा खाली सविस्तर दिलेल्या आहेत.

उदाहरण: ₁ = 6, q = 1/3 - ₁ एक श्रेष्ठ आहे, q - कमी.

मग संख्या एक क्रम लिहीले जाऊ शकते खालीलप्रमाणे:

6 2 2/3 ... - खालील कोणत्याही घटक अधिक घटक, 3 वेळा आहे.

• लागोपाठ. तर q <0, सतत पर्वा न करता ₁ क्रम लागोपाठ संख्या _{चिन्हे,} आणि कोणत्याही वाढ किंवा घट घटक.

उदाहरण: ₁ = -3, q = -2 - शून्य पेक्षा कमी दोन्ही आहेत.

मग संख्या एक क्रम लिहिले जाऊ शकते:

3, 6, 12, 24, ...

सूत्र

सोयीस्कर उपयोग सूत्रे अनेक भौमितिक progressions आहेत:

• फॉर्म्युला z व्या संज्ञा. गेल्या संख्या गणना न एक विशिष्ट क्रमांक मध्ये घटक हिशोब परवानगी देते.

उदाहरण: q = 3, एक = ₁ 4 चौथ्या घटक प्रगती गणना करणे आवश्यक.

उपाय: एक = ₄ 4 3 · ^4-1 · 3 = 4 ³ = 4 · 27 = 108.

• पहिल्या घटक बेरीज ज्यांचे क्रमांक समान आहे z. तो एक _z समावेशक एक क्रम सर्व घटक बेरीज हिशोब परवानगी देते.

≠ 0, अशा प्रकारे, q नाही 1 - असल्यामुळे (q 1) (1- q) नंतर, भाजक आहे.

टीप: q = 1, नंतर प्रगती अविरतपणे संख्या पुनरावृत्ती एक संख्या प्रतिनिधित्व होईल.

रक्कम exponentially उदाहरणे: ₁ = 2, q = -2. एस _{5 गणना.}

उपाय: एस ₅ = 22 - गणना सूत्र.

• तर रक्कम | q | <1 आणि z गणित झुकत तेव्हा.

उदाहरण: ₁ = _2, q = 0.5. बेरीज शोधा.

उपाय: एस _z = 2 x = 4

आम्ही मॅन्युअल अनेक सदस्य बेरीज गणना, तर आपल्याला हे खरोखर चार करण्यास वचनबद्ध आहे की दिसेल.

एस _z = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0,125 + 0.0625 = 3.9375 4

काही गुणधर्म:

• एक वैशिष्ट्यपूर्ण मालमत्ता. पुढील अट असेल तर तो कोणत्याही z करीता, नंतर एक सांख्यिकीय मालिका दिले वस्तू - एक भूमिती श्रेणी:

एक _z ² = एक _{z -1} · एक _{Z + 1}

• तो कोणत्याही संख्या चौरस ते घटक सामाईक आहेत तर, कोणत्याही सलग इतर दोन संख्यांचा वर्ग व्यतिरिक्त अर्थ exponentially देखील आहे.

² _z = एक _{z - टी} ² ₊ एक _z + _T ² जेथे टी - ही संख्या अंतर.

• घटक q वेळा भिन्न.
• प्रगती घटक logarithms तसेच मागील एका पेक्षा अधिक लोक प्रत्येक एक विशिष्ट संख्या एक प्रगती, पण अंकगणित तयार आहे की,.

काही शास्त्रीय समस्या उदाहरणे

एक भूमिती श्रेणी ग्रेड 9 निर्णय उदाहरणे मदत करू शकतात ते चांगले जाणून घेण्यासाठी.

• अटी आणि नियम: ₁ = 3, ₃ = 48. शोधा q.

उपाय: मागील q अधिक प्रत्येक यशस्वी घटक वेळ. हे भाजक द्वारे इतर माध्यमातून काही घटक व्यक्त करणे आवश्यक आहे.

यामुळे, ₃ = q ² · ₁

बदली तेव्हा q = 4

• अटी: ₂ = 6, एक = ₃ 12 गणना एस _6.

उपाय: हे करण्यासाठी, तो सूत्र मध्ये q, पहिल्या घटक आणि पर्याय शोधण्यासाठी मागणे आहे.

₃ = q · _2, यामुळे, q = 2

₂ = q · एक _1, त्यामुळे एक = ₁ 3

S = ₆ 189

• · एक ₁ = 10, q = -2. प्रगती चौथ्या घटक शोधा.

उपाय: प्रथम माध्यमातून आणि भाजक माध्यमातून चौथ्या घटक व्यक्त करण्यासाठी पुरेसे आहे.

₄ ³ = q · एक = ₁ -80

अर्ज उदाहरण:

• बँक क्लाएंट 10,000 रूबल्स बेरीज आहे, प्रत्येक वर्षी कर्जाची मुख्य रक्कम क्लाएंट तरी जोडले जाईल ज्या अंतर्गत ते 6% योगदान दिले आहे. किती पैसे 4 वर्षे खाते आहे?

उपाय: प्रारंभिक रक्कम 10 हजार रूबल्स समान. त्यामुळे, खाते गुंतवणूक नंतर एक वर्ष 10000 + 10000 = 10000 · 0.06 · 1.06 समान रक्कम होईल

त्यानुसार, अगदी नंतर एक वर्ष म्हणून अभिव्यक्त केले जातील खात्यात रक्कम खालीलप्रमाणे:

(10000 · 1.06) · 10000 · 0.06 + 1.06 = 1.06 · 1.06 · 10000

की, प्रत्येक वर्षी रक्कम 1.06 वेळा वाढ आहे. त्यामुळे, 4 वर्षे खाते संख्या शोधण्यासाठी, 10 हजार समान पहिल्या घटक दिलेल्या चौथा घटक प्रगती, आणि 1.06 समान भाजक शोधण्यासाठी मागणे आहे.

S = 1.06 · 1.06 · 1.06 · 1.06 · 10000 = 12625

बेरजेचे मोजणीमध्ये समस्या उदाहरणे:

विविध समस्या मध्ये भूमिती श्रेणी वापरून. खालीलप्रमाणे रक्कम शोधत उदाहरण सेट केली जाऊ शकते:

₁ = 4, q = 2, एस _{5 गणना.}

उपाय: गणना सर्व आवश्यक माहिती ज्ञात आहेत, फक्त सूत्र त्यांना पर्याय.

एस ₅ = 124

• ₂ = 6, एक = ₃ 18 गणना पहिल्या सहा घटक बेरीज.

उपाय:

Geom. मागील q वेळा पेक्षा पुढील मोठ्या प्रत्येक घटक प्रगती म्हणजे रक्कम गणना आपण घटक ₁ आणि भाजक q माहित असणे आवश्यक आहे.

₂ · q = ₃

q = 3

तसेच, _{1, 2} आणि पाहता q शोधण्यासाठी गरज.

₁ · q = ₂

₁ = 2

आणि मग तो सूत्र रक्कम मध्ये ओळखले डेटा पर्याय मागणे आहे.

एस ₆ = 728.